5x^2-8x+3=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } - 8 x + 3 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5x^{2}+ax+bx+3 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-8 ab=5\times 3=15$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -8.

$$a=-5 b=-3$$

Átírjuk az értéket (5x^{2}-8x+3) \left(5x^{2}-5x\right)+\left(-3x+3\right) alakban.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Kiemeljük a(z) 5x tényezőt az első, a(z) -3 tényezőt pedig a második csoportban.

$$5x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-1\right)\left(5x-3\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-1=0 és 5x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-8x+3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -8 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\times 3}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és -60.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 5}$$

-8 ellentettje 8.

$$x=\frac{8±2}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{8±2}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±2}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 8 és 2.

$$x=\frac{10}{10}$$

10 elosztása a következővel: 10.

$$x=1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±2}{10}). ± előjele negatív. 2 kivonása a következőből: 8.

$$x=\frac{6}{10}$$

A törtet (\frac{6}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{3}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-8x+3=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3.

$$5x^{2}-8x+3-3=-3$$

Ha kivonjuk a(z) 3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-8x=-3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=-\frac{3}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{8}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{4}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{4}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{4}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{16}{25}$$

-\frac{3}{5} és \frac{16}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{1}{25}$$

A(z) x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{1}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{1}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{4}{5}.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$