5x^2-7x-3=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{109} + 7}{10} \approx 1,744030651$$

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}\approx -0,344030651$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+60}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

-7 ellentettje 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 7 és \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}). ± előjele negatív. \sqrt{109} kivonása a következőből: 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$5x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

-3 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}-7x=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{3}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{3}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{10}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

\frac{3}{5} és \frac{49}{100} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{109}{100}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{109}{100}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{100}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{109}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{109}}{10}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{10}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$