5x^2-7x=24 megoldása

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=3$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 24.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5x^{2}+ax+bx-24 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -7.

$$a=-15 b=8$$

Átírjuk az értéket (5x^{2}-7x-24) \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right) alakban.

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

A 5x a második csoportban lévő első és 8 faktort.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-3=0 és a 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-7x=24$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 24.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

Ha kivonjuk a(z) 24 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) -24 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

-7 ellentettje 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±23}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 7 és 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

30 elosztása a következővel: 10.

$$x=3$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±23}{10}). ± előjele negatív. 23 kivonása a következőből: 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

A törtet (\frac{-16}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-7x=24$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{10}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

\frac{24}{5} és \frac{49}{100} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{10}.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$