5x^2-40x+85=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -40 értéket b-be és a(z) 85 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 1600 és -1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

-40 ellentettje 40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{40±10i}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 40 és 10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

40+10i elosztása a következővel: 10.

$$x=4+i$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{40±10i}{10}). ± előjele negatív. 10i kivonása a következőből: 40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

40-10i elosztása a következővel: 10.

$$x=4-i$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=4+i x=4-i$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 85.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

Ha kivonjuk a(z) 85 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-40x=-85$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

-40 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

-85 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}-8x=-17$$

Elosztjuk a(z) -8 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -4. Ezután hozzáadjuk -4 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

Összeadjuk a következőket: -17 és 16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

A(z) x^{2}-8x+16 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-4=i x-4=-i$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$x=4+i x=4-i$$