5x^2-24x-68=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } - 24 x - 68 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-2$$

$$x = \frac{34}{5} = 6\frac{4}{5} = 6,8$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5x^{2}+ax+bx-68 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-24 ab=5\left(-68\right)=-340$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -340.

$$1,-340 2,-170 4,-85 5,-68 10,-34 17,-20$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-340=-339 2-170=-168 4-85=-81 5-68=-63 10-34=-24 17-20=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -24.

$$a=-34 b=10$$

Átírjuk az értéket (5x^{2}-24x-68) \left(5x^{2}-34x\right)+\left(10x-68\right) alakban.

$$\left(5x^{2}-34x\right)+\left(10x-68\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 2 faktort.

$$x\left(5x-34\right)+2\left(5x-34\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5x-34 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5x-34\right)\left(x+2\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 5x-34=0 és a x+2=0.

$$x=\frac{34}{5} x=-2$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-24x-68=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -24 értéket b-be és a(z) -68 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 5\left(-68\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 5\left(-68\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-20\left(-68\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -68.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+1360}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 576 és 1360.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1936}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1936.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±44}{2\times 5}$$

-24 ellentettje 24.

$$x=\frac{24±44}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{24±44}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{24±44}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 24 és 44.

$$x=\frac{68}{10}$$

A törtet (\frac{68}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{34}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{24±44}{10}). ± előjele negatív. 44 kivonása a következőből: 24.

$$x=-\frac{20}{10}$$

-20 elosztása a következővel: 10.

$$x=-2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{34}{5} x=-2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-24x-68=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 68.

$$5x^{2}-24x-68-\left(-68\right)=-\left(-68\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -68 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-24x=-\left(-68\right)$$

-68 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}-24x=68$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-24x}{5}=\frac{68}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x=\frac{68}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{24}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{12}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{12}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\left(-\frac{12}{5}\right)^{2}=\frac{68}{5}+\left(-\frac{12}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{12}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}=\frac{68}{5}+\frac{144}{25}$$

\frac{68}{5} és \frac{144}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}=\frac{484}{25}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{12}{5}\right)^{2}=\frac{484}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{12}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{484}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{12}{5}=\frac{22}{5} x-\frac{12}{5}=-\frac{22}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{12}{5}.

$$x=\frac{34}{5} x=-2$$