5x^2+70x-75=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-15$$

$$x=1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$x^{2}+14x-15=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-15 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -15.

$$-1,15 -3,5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 14.

$$a=-1 b=15$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+14x-15) \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right) alakban.

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 15 faktort.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-1=0 és a x+15=0.

$$x=1 x=-15$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 70 értéket b-be és a(z) -75 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 70.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 4900 és 1500.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 6400.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-70±80}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -70 és 80.

$$x=\frac{10}{10}$$

10 elosztása a következővel: 10.

$$x=1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-70±80}{10}). ± előjele negatív. 80 kivonása a következőből: -70.

$$x=-\frac{150}{10}$$

-150 elosztása a következővel: 10.

$$x=-15$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=1 x=-15$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 75.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -75 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

-75 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}+70x=75$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

70 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

75 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+14x=15$$

Elosztjuk a(z) 14 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 7. Ezután hozzáadjuk 7 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 7.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

Összeadjuk a következőket: 15 és 49.

$$x^{2}+14x+49=64$$

Tényezőkre x^{2}+14x+49. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+7=8 x+7=-8$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 7.

$$x=1 x=-15$$