5x^2+60x+180=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } + 60 x + 180 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-6$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$x^{2}+12x+36=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx+36 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=12 ab=1\times 36=36$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 12.

$$a=6 b=6$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+12x+36) \left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right) alakban.

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 6 faktort.

$$x\left(x+6\right)+6\left(x+6\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x+6 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x+6\right)\left(x+6\right)$$

Átírjuk kéttagú kifejezés négyzetére.

$$\left(x+6\right)^{2}$$

Az egyenlet megoldásához elvégezzük ezt a műveletet: x+6=0.

$$x=-6$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 60 értéket b-be és a(z) 180 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 60.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-20\times 180}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 180.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-3600}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 3600 és -3600.

$$x=\frac{-60±\sqrt{0}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 0.

$$x=-\frac{60}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=-\frac{60}{10}$$

-60 elosztása a következővel: 10.

$$x=-6$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 180.

$$5x^{2}+60x+180-180=-180$$

Ha kivonjuk a(z) 180 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+60x=-180$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+60x}{5}=-\frac{180}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{60}{5}x=-\frac{180}{5}$$

60 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+12x=-\frac{180}{5}$$

-180 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+12x=-36$$

Elosztjuk a(z) 12 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 6. Ezután hozzáadjuk 6 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-36+6^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 6.

$$x^{2}+12x+36=-36+36$$

Összeadjuk a következőket: -36 és 36.

$$x^{2}+12x+36=0$$

Tényezőkre x^{2}+12x+36. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+6\right)^{2}=0$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+6=0 x+6=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 6.

$$x=-6 x=-6$$

Megoldottuk az egyenletet. Azonosak a megoldások.

$$x=-6$$