5x^2+6x-1=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } + 6 x - 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5}\approx 0,148331477$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}\approx -1,348331477$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+6x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 6 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+20}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és 20.

$$x=\frac{-6±\sqrt{56}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 56.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -6 és 2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}-6}{10}$$

-6+2\sqrt{14} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{10}). ± előjele negatív. 2\sqrt{14} kivonása a következőből: -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}-6}{10}$$

-6-2\sqrt{14} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+6x-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$5x^{2}+6x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+6x=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}+6x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{1}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{1}{5}$$

Elosztjuk a(z) \frac{6}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{1}{5}+\frac{9}{25}$$

\frac{1}{5} és \frac{9}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{14}{25}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{14}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{14}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{14}}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{14}}{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{5}.

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}$$