5x^2+6x+10=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0,6+1,280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0,6-1,280624847i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 6 értéket b-be és a(z) 10 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és -200.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -164.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -6 és 2i\sqrt{41}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

-6+2i\sqrt{41} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{41} kivonása a következőből: -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

-6-2i\sqrt{41} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 10.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

Ha kivonjuk a(z) 10 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+6x=-10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

-10 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

Elosztjuk a(z) \frac{6}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

Összeadjuk a következőket: -2 és \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{5}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$