5x^2+4x+3=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } + 4 x + 3 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}\approx -0,4+0,663324958i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}\approx -0,4-0,663324958i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 3}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és -60.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-44}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -44.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -4 és 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{11}i}{10}$$

-4+2i\sqrt{11} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{11} kivonása a következőből: -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-4}{10}$$

-4-2i\sqrt{11} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3.

$$5x^{2}+4x+3-3=-3$$

Ha kivonjuk a(z) 3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+4x=-3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{3}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Elosztjuk a(z) \frac{4}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{2}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{2}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{2}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

-\frac{3}{5} és \frac{4}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{11}{25}$$

A(z) x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{11}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{11}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{11}i}{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{2}{5}.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$