5x^2+3x+1=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}). ± előjele negatív. i\sqrt{11} kivonása a következőből: -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Elosztjuk a(z) \frac{3}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{10}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

-\frac{1}{5} és \frac{9}{100} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

A(z) x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{10}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$