5x^2+21x+4=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5x^{2}+ax+bx+4 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 21.

$$a=1 b=20$$

Átírjuk az értéket (5x^{2}+21x+4) \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right) alakban.

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 4 faktort.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5x+1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 5x+1=0 és a x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 21 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 21.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 441 és -80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 361.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-21±19}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -21 és 19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

A törtet (\frac{-2}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-21±19}{10}). ± előjele negatív. 19 kivonása a következőből: -21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

-40 elosztása a következővel: 10.

$$x=-4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

Ha kivonjuk a(z) 4 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Elosztjuk a(z) \frac{21}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{21}{10}. Ezután hozzáadjuk \frac{21}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

A(z) \frac{21}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

-\frac{4}{5} és \frac{441}{100} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{21}{10}.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$