5x^2+2x+8=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } + 2 x + 8 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}\approx -0,2+1,2489996i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}\approx -0,2-1,2489996i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) 8 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-20\times 8}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-160}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és -160.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-156}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -156.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 2i\sqrt{39}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{39}i}{10}$$

-2+2i\sqrt{39} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{39} kivonása a következőből: -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{39}i-2}{10}$$

-2-2i\sqrt{39} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 8.

$$5x^{2}+2x+8-8=-8$$

Ha kivonjuk a(z) 8 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+2x=-8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+2x}{5}=-\frac{8}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x=-\frac{8}{5}$$

Elosztjuk a(z) \frac{2}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{8}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{8}{5}+\frac{1}{25}$$

-\frac{8}{5} és \frac{1}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{39}{25}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{39}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{39}i}{5} x+\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{39}i}{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{5}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$