5x^2+18x+1=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } + 18 x + 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5}\approx -0,056440423$$

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}\approx -3,543559577$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+18x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 18 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 5}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-20}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 324 és -20.

$$x=\frac{-18±\sqrt{304}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 304.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -18 és 4\sqrt{19}.

$$x=\frac{4\sqrt{19}-18}{10}$$

-18+4\sqrt{19} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10}). ± előjele negatív. 4\sqrt{19} kivonása a következőből: -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{19}-18}{10}$$

-18-4\sqrt{19} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+18x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$5x^{2}+18x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+18x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+18x}{5}=-\frac{1}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Elosztjuk a(z) \frac{18}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{9}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{9}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{9}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{81}{25}$$

-\frac{1}{5} és \frac{81}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{76}{25}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{76}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{76}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{9}{5}=\frac{2\sqrt{19}}{5} x+\frac{9}{5}=-\frac{2\sqrt{19}}{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{9}{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$