5x^2+16x-6=3 megoldása

$$5 x ^ { 2 } + 16 x - 6 = 3$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{109}-8}{5}\approx 0,488061302$$

$$x=\frac{-\sqrt{109}-8}{5}\approx -3,688061302$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+16x-6=3$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3.

$$5x^{2}+16x-6-3=3-3$$

Ha kivonjuk a(z) 3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+16x-6-3=0$$

3 kivonása a következőből: -6.

$$5x^{2}+16x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 16 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-20\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -9.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+180}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 256 és 180.

$$x=\frac{-16±\sqrt{436}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 436.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{109}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-16±2\sqrt{109}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -16 és 2\sqrt{109}.

$$x=\frac{2\sqrt{109}-16}{10}$$

-16+2\sqrt{109} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{\sqrt{109}-8}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-16±2\sqrt{109}}{10}). ± előjele negatív. 2\sqrt{109} kivonása a következőből: -16.

$$x=\frac{-2\sqrt{109}-16}{10}$$

-16-2\sqrt{109} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{-\sqrt{109}-8}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{109}-8}{5} x=\frac{-\sqrt{109}-8}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+16x-6=3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 6.

$$5x^{2}+16x-6-\left(-6\right)=3-\left(-6\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -6 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+16x=3-\left(-6\right)$$

-6 kivonása a következőből: 3.

$$5x^{2}+16x=9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+16x}{5}=\frac{9}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x=\frac{9}{5}$$

Elosztjuk a(z) \frac{16}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{8}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{8}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{9}{5}+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{8}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{9}{5}+\frac{64}{25}$$

\frac{9}{5} és \frac{64}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{109}{25}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{109}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{8}{5}=\frac{\sqrt{109}}{5} x+\frac{8}{5}=-\frac{\sqrt{109}}{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{8}{5}.

$$x=\frac{\sqrt{109}-8}{5} x=\frac{-\sqrt{109}-8}{5}$$