5x^2+16x-16=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } + 16 x - 16 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-4$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5x^{2}+ax+bx-16 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=16 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 16.

$$a=-4 b=20$$

Átírjuk az értéket (5x^{2}+16x-16) \left(5x^{2}-4x\right)+\left(20x-16\right) alakban.

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(20x-16\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 4 faktort.

$$x\left(5x-4\right)+4\left(5x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5x-4\right)\left(x+4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 5x-4=0 és a x+4=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+16x-16=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 16 értéket b-be és a(z) -16 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+320}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 256 és 320.

$$x=\frac{-16±\sqrt{576}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 576.

$$x=\frac{-16±24}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-16±24}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-16±24}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -16 és 24.

$$x=\frac{8}{10}$$

A törtet (\frac{8}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{4}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-16±24}{10}). ± előjele negatív. 24 kivonása a következőből: -16.

$$x=-\frac{40}{10}$$

-40 elosztása a következővel: 10.

$$x=-4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{4}{5} x=-4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+16x-16=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 16.

$$5x^{2}+16x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -16 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+16x=-\left(-16\right)$$

-16 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}+16x=16$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+16x}{5}=\frac{16}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x=\frac{16}{5}$$

Elosztjuk a(z) \frac{16}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{8}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{8}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{8}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{16}{5}+\frac{64}{25}$$

\frac{16}{5} és \frac{64}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{144}{25}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{144}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{8}{5}=\frac{12}{5} x+\frac{8}{5}=-\frac{12}{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{8}{5}.

$$x=\frac{4}{5} x=-4$$