5t^2-30t+240=0 megoldása

$$5 t ^ { 2 } - 30 t + 240 = 0$$

Megoldás a(z) t változóra

$$t=3+\sqrt{39}i\approx 3+6,244997998i$$

$$t=-\sqrt{39}i+3\approx 3-6,244997998i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5t^{2}-30t+240=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -30 értéket b-be és a(z) 240 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 5\times 240}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -30.

$$t=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 5\times 240}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$t=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-20\times 240}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 240.

$$t=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4800}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 900 és -4800.

$$t=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{-3900}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -3900.

$$t=\frac{-\left(-30\right)±10\sqrt{39}i}{2\times 5}$$

-30 ellentettje 30.

$$t=\frac{30±10\sqrt{39}i}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$t=\frac{30±10\sqrt{39}i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{30±10\sqrt{39}i}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 30 és 10i\sqrt{39}.

$$t=\frac{30+10\sqrt{39}i}{10}$$

30+10i\sqrt{39} elosztása a következővel: 10.

$$t=3+\sqrt{39}i$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{30±10\sqrt{39}i}{10}). ± előjele negatív. 10i\sqrt{39} kivonása a következőből: 30.

$$t=\frac{-10\sqrt{39}i+30}{10}$$

30-10i\sqrt{39} elosztása a következővel: 10.

$$t=-\sqrt{39}i+3$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$t=3+\sqrt{39}i t=-\sqrt{39}i+3$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5t^{2}-30t+240=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 240.

$$5t^{2}-30t+240-240=-240$$

Ha kivonjuk a(z) 240 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5t^{2}-30t=-240$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5t^{2}-30t}{5}=-\frac{240}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$t^{2}+\left(-\frac{30}{5}\right)t=-\frac{240}{5}$$

-30 elosztása a következővel: 5.

$$t^{2}-6t=-\frac{240}{5}$$

-240 elosztása a következővel: 5.

$$t^{2}-6t=-48$$

Elosztjuk a(z) -6 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -3. Ezután hozzáadjuk -3 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$t^{2}-6t+\left(-3\right)^{2}=-48+\left(-3\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$t^{2}-6t+9=-48+9$$

Összeadjuk a következőket: -48 és 9.

$$t^{2}-6t+9=-39$$

Tényezőkre t^{2}-6t+9. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(t-3\right)^{2}=-39$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(t-3\right)^{2}}=\sqrt{-39}$$

Egyszerűsítünk.

$$t-3=\sqrt{39}i t-3=-\sqrt{39}i$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$t=3+\sqrt{39}i t=-\sqrt{39}i+3$$