5y^2-90y+54=0 megoldása

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -90 értéket b-be és a(z) 54 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -90.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 8100 és -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

-90 ellentettje 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 90 és 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

90+6\sqrt{195} elosztása a következővel: 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}). ± előjele negatív. 6\sqrt{195} kivonása a következőből: 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

90-6\sqrt{195} elosztása a következővel: 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 54.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Ha kivonjuk a(z) 54 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

-90 elosztása a következővel: 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Elosztjuk a(z) -18 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -9. Ezután hozzáadjuk -9 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -9.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{54}{5} és 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Tényezőkre y^{2}-18y+81. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Egyszerűsítünk.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 9.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$