5x^2-x-2184=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5x^{2}+ax+bx-2184 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -1.

$$a=-105 b=104$$

Átírjuk az értéket (5x^{2}-x-2184) \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right) alakban.

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

A 5x a második csoportban lévő első és 104 faktort.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-21 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-21=0 és a 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) -2184 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

-1 ellentettje 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±209}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 1 és 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

210 elosztása a következővel: 10.

$$x=21$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±209}{10}). ± előjele negatív. 209 kivonása a következőből: 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

A törtet (\frac{-208}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2184.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -2184 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

-2184 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{10}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

\frac{2184}{5} és \frac{1}{100} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{10}.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$