5x^2-6x-8=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } -6x-8=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{4}{5}=-0,8$$

$$x=2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5x^{2}+ax+bx-8 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-6 ab=5\left(-8\right)=-40$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -6.

$$a=-10 b=4$$

Átírjuk az értéket (5x^{2}-6x-8) \left(5x^{2}-10x\right)+\left(4x-8\right) alakban.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(4x-8\right)$$

A 5x a második csoportban lévő első és 4 faktort.

$$5x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-2\right)\left(5x+4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-2=0 és a 5x+4=0.

$$x=2 x=-\frac{4}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-6x-8=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -6 értéket b-be és a(z) -8 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 5\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 5\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-20\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+160}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és 160.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{196}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 196.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±14}{2\times 5}$$

-6 ellentettje 6.

$$x=\frac{6±14}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{6±14}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{6±14}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 6 és 14.

$$x=\frac{20}{10}$$

20 elosztása a következővel: 10.

$$x=2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{6±14}{10}). ± előjele negatív. 14 kivonása a következőből: 6.

$$x=-\frac{8}{10}$$

A törtet (\frac{-8}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=2 x=-\frac{4}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-6x-8=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 8.

$$5x^{2}-6x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -8 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-6x=-\left(-8\right)$$

-8 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}-6x=8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-6x}{5}=\frac{8}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x=\frac{8}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{6}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{8}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{8}{5}+\frac{9}{25}$$

\frac{8}{5} és \frac{9}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{49}{25}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{49}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{5}=\frac{7}{5} x-\frac{3}{5}=-\frac{7}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{5}.

$$x=2 x=-\frac{4}{5}$$