5x^2-4x+5=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } -4x+5 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}\approx 0,4+0,916515139i$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}\approx 0,4-0,916515139i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) 5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 5}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-100}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és -100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-84}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -84.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

-4 ellentettje 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 4 és 2i\sqrt{21}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{21}i}{10}$$

4+2i\sqrt{21} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{21} kivonása a következőből: 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{21}i+4}{10}$$

4-2i\sqrt{21} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$5x^{2}-4x+5-5=-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-4x=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{5}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{5}{5}$$

-5 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-1$$

Elosztjuk a(z) -\frac{4}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{2}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{2}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{2}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-1+\frac{4}{25}$$

Összeadjuk a következőket: -1 és \frac{4}{25}.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{21}{25}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{21}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{21}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{21}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{21}i}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{2}{5}.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$