5x^2-48x-48=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } -48x-48=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{4 \sqrt{51} + 24}{5} \approx 10,513142743$$

$$x=\frac{24-4\sqrt{51}}{5}\approx -0,913142743$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-48x-48=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -48 értéket b-be és a(z) -48 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -48.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -48.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304+960}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 2304 és 960.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{3264}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 3264.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±8\sqrt{51}}{2\times 5}$$

-48 ellentettje 48.

$$x=\frac{48±8\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{48±8\sqrt{51}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{48±8\sqrt{51}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 48 és 8\sqrt{51}.

$$x=\frac{8\sqrt{51}+48}{10}$$

48+8\sqrt{51} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{4\sqrt{51}+24}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{48±8\sqrt{51}}{10}). ± előjele negatív. 8\sqrt{51} kivonása a következőből: 48.

$$x=\frac{48-8\sqrt{51}}{10}$$

48-8\sqrt{51} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{24-4\sqrt{51}}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{4\sqrt{51}+24}{5} x=\frac{24-4\sqrt{51}}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-48x-48=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 48.

$$5x^{2}-48x-48-\left(-48\right)=-\left(-48\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -48 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-48x=-\left(-48\right)$$

-48 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}-48x=48$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-48x}{5}=\frac{48}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=\frac{48}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{48}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{24}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{24}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}=\frac{48}{5}+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{24}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=\frac{48}{5}+\frac{576}{25}$$

\frac{48}{5} és \frac{576}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=\frac{816}{25}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}=\frac{816}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{816}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{24}{5}=\frac{4\sqrt{51}}{5} x-\frac{24}{5}=-\frac{4\sqrt{51}}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{24}{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{51}+24}{5} x=\frac{24-4\sqrt{51}}{5}$$