5x^2-48x+20=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } -48x+20=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{2 \sqrt{119} + 24}{5} \approx 9,163484846$$

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}\approx 0,436515154$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -48 értéket b-be és a(z) 20 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -48.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\times 20}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 20.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-400}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 2304 és -400.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{1904}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1904.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

-48 ellentettje 48.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 48 és 4\sqrt{119}.

$$x=\frac{4\sqrt{119}+48}{10}$$

48+4\sqrt{119} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}). ± előjele negatív. 4\sqrt{119} kivonása a következőből: 48.

$$x=\frac{48-4\sqrt{119}}{10}$$

48-4\sqrt{119} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 20.

$$5x^{2}-48x+20-20=-20$$

Ha kivonjuk a(z) 20 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-48x=-20$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-48x}{5}=-\frac{20}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-\frac{20}{5}$$

-20 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-4$$

Elosztjuk a(z) -\frac{48}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{24}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{24}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{24}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=-4+\frac{576}{25}$$

Összeadjuk a következőket: -4 és \frac{576}{25}.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=\frac{476}{25}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}=\frac{476}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{476}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{24}{5}=\frac{2\sqrt{119}}{5} x-\frac{24}{5}=-\frac{2\sqrt{119}}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{24}{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$