5x^2-33x-14=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } -33x-14 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=7$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5x^{2}+ax+bx-14 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-33 ab=5\left(-14\right)=-70$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -70.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -33.

$$a=-35 b=2$$

Átírjuk az értéket (5x^{2}-33x-14) \left(5x^{2}-35x\right)+\left(2x-14\right) alakban.

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(2x-14\right)$$

A 5x a második csoportban lévő első és 2 faktort.

$$5x\left(x-7\right)+2\left(x-7\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-7 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-7\right)\left(5x+2\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-7=0 és a 5x+2=0.

$$x=7 x=-\frac{2}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-33x-14=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -33 értéket b-be és a(z) -14 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -33.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-20\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -14.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+280}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 1089 és 280.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1369}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1369.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±37}{2\times 5}$$

-33 ellentettje 33.

$$x=\frac{33±37}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{33±37}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{33±37}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 33 és 37.

$$x=\frac{70}{10}$$

70 elosztása a következővel: 10.

$$x=7$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{33±37}{10}). ± előjele negatív. 37 kivonása a következőből: 33.

$$x=-\frac{4}{10}$$

A törtet (\frac{-4}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=7 x=-\frac{2}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-33x-14=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 14.

$$5x^{2}-33x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -14 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-33x=-\left(-14\right)$$

-14 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}-33x=14$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-33x}{5}=\frac{14}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{14}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{33}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{33}{10}. Ezután hozzáadjuk -\frac{33}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{14}{5}+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{33}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{14}{5}+\frac{1089}{100}$$

\frac{14}{5} és \frac{1089}{100} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{1369}{100}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{1369}{100}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{100}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{37}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{37}{10}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{33}{10}.

$$x=7 x=-\frac{2}{5}$$