5x^2-32x=48 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } -32x=48$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{4 \sqrt{31} + 16}{5} \approx 7,65421149$$

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}\approx -1,25421149$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-32x=48$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 48.

$$5x^{2}-32x-48=48-48$$

Ha kivonjuk a(z) 48 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-32x-48=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -32 értéket b-be és a(z) -48 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-20\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -48.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+960}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 1024 és 960.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1984}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1984.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

-32 ellentettje 32.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 32 és 8\sqrt{31}.

$$x=\frac{8\sqrt{31}+32}{10}$$

32+8\sqrt{31} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}). ± előjele negatív. 8\sqrt{31} kivonása a következőből: 32.

$$x=\frac{32-8\sqrt{31}}{10}$$

32-8\sqrt{31} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-32x=48$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-32x}{5}=\frac{48}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x=\frac{48}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{32}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{16}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{16}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{48}{5}+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{16}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{48}{5}+\frac{256}{25}$$

\frac{48}{5} és \frac{256}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{496}{25}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{496}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{496}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{16}{5}=\frac{4\sqrt{31}}{5} x-\frac{16}{5}=-\frac{4\sqrt{31}}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{16}{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$