5x^2-2x+15=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } -2x+15=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}\approx 0,2+1,720465053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}\approx 0,2-1,720465053i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) 15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\times 15}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 15.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-300}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és -300.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-296}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -296.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

-2 ellentettje 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 2i\sqrt{74}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{74}i}{10}$$

2+2i\sqrt{74} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{74} kivonása a következőből: 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{74}i+2}{10}$$

2-2i\sqrt{74} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 15.

$$5x^{2}-2x+15-15=-15$$

Ha kivonjuk a(z) 15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-2x=-15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{15}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{15}{5}$$

-15 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-3$$

Elosztjuk a(z) -\frac{2}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-3+\frac{1}{25}$$

Összeadjuk a következőket: -3 és \frac{1}{25}.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{74}{25}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{74}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{74}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{74}i}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{74}i}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{5}.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$