5x^2-29x-42=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5x^{2}+ax+bx-42 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -29.

$$a=-35 b=6$$

Átírjuk az értéket (5x^{2}-29x-42) \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right) alakban.

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

A 5x a második csoportban lévő első és 6 faktort.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-7 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-7=0 és a 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -29 értéket b-be és a(z) -42 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 841 és 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

-29 ellentettje 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{29±41}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 29 és 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

70 elosztása a következővel: 10.

$$x=7$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{29±41}{10}). ± előjele negatív. 41 kivonása a következőből: 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

A törtet (\frac{-12}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 42.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -42 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

-42 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{29}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{29}{10}. Ezután hozzáadjuk -\frac{29}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{29}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

\frac{42}{5} és \frac{841}{100} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{29}{10}.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$