5x^2-16x-185=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } -16x-185 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{989} + 8}{5} \approx 7,889674077$$

$$x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}\approx -4,689674077$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-16x-185=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -16 értéket b-be és a(z) -185 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 5\left(-185\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 5\left(-185\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-20\left(-185\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -185.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256+3700}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 256 és 3700.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{3956}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 3956.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±2\sqrt{989}}{2\times 5}$$

-16 ellentettje 16.

$$x=\frac{16±2\sqrt{989}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{16±2\sqrt{989}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{16±2\sqrt{989}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 16 és 2\sqrt{989}.

$$x=\frac{2\sqrt{989}+16}{10}$$

16+2\sqrt{989} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{\sqrt{989}+8}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{16±2\sqrt{989}}{10}). ± előjele negatív. 2\sqrt{989} kivonása a következőből: 16.

$$x=\frac{16-2\sqrt{989}}{10}$$

16-2\sqrt{989} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{989}+8}{5} x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-16x-185=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 185.

$$5x^{2}-16x-185-\left(-185\right)=-\left(-185\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -185 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-16x=-\left(-185\right)$$

-185 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}-16x=185$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-16x}{5}=\frac{185}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x=\frac{185}{5}$$

185 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x=37$$

Elosztjuk a(z) -\frac{16}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{8}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{8}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x+\left(-\frac{8}{5}\right)^{2}=37+\left(-\frac{8}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{8}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=37+\frac{64}{25}$$

Összeadjuk a következőket: 37 és \frac{64}{25}.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{989}{25}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{989}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{989}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{8}{5}=\frac{\sqrt{989}}{5} x-\frac{8}{5}=-\frac{\sqrt{989}}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{8}{5}.

$$x=\frac{\sqrt{989}+8}{5} x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}$$