5x^2-10x-15=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } -10x-15=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

$$x=3$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-3 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Az egyetlen ilyen pár a rendszermegoldás.

$$a=-3 b=1$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-2x-3) \left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right) alakban.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right)$$

Emelje ki a(z) x elemet a(z) x^{2}-3x kifejezésből.

$$x\left(x-3\right)+x-3$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-3=0 és a x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -10 értéket b-be és a(z) -15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+300}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és 300.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{400}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±20}{2\times 5}$$

-10 ellentettje 10.

$$x=\frac{10±20}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{10±20}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{10±20}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 10 és 20.

$$x=\frac{30}{10}$$

30 elosztása a következővel: 10.

$$x=3$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{10±20}{10}). ± előjele negatív. 20 kivonása a következőből: 10.

$$x=-\frac{10}{10}$$

-10 elosztása a következővel: 10.

$$x=-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3 x=-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$5x^{2}-10x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-10x=-\left(-15\right)$$

-15 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}-10x=15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{15}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{15}{5}$$

-10 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}-2x=\frac{15}{5}$$

15 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}-2x=3$$

Elosztjuk a(z) -2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -1. Ezután hozzáadjuk -1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Összeadjuk a következőket: 3 és 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Tényezőkre x^{2}-2x+1. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$x=3 x=-1$$