5x^2+7x=-3= megoldása

$$5 { x }^{ 2 } +7x = -3 =$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,7+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}\approx -0,7-0,331662479i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+7x=-3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$5x^{2}+7x-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+7x-\left(-3\right)=0$$

-3 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}+7x+3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 7 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-20\times 3}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-60}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és -60.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -11.

$$x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -7 és i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{10}). ± előjele negatív. i\sqrt{11} kivonása a következőből: -7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+7x=-3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+7x}{5}=-\frac{3}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Elosztjuk a(z) \frac{7}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{10}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

-\frac{3}{5} és \frac{49}{100} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{11}{100}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{10}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}$$