5x^2+5x+9=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,24498996i$$

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,24498996i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 5 értéket b-be és a(z) 9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-20\times 9}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-180}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és -180.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-155}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -155.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -5 és i\sqrt{155}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{155}i}{10}$$

-5+i\sqrt{155} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}). ± előjele negatív. i\sqrt{155} kivonása a következőből: -5.

$$x=\frac{-\sqrt{155}i-5}{10}$$

-5-i\sqrt{155} elosztása a következővel: 10.

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 9.

$$5x^{2}+5x+9-9=-9$$

Ha kivonjuk a(z) 9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+5x=-9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+5x}{5}=-\frac{9}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{5}{5}x=-\frac{9}{5}$$

5 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{5}$$

Elosztjuk a(z) 1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{5}+\frac{1}{4}$$

-\frac{9}{5} és \frac{1}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{20}$$

A(z) x^{2}+x+\frac{1}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{20}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{20}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{155}i}{10} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{155}i}{10}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$