5x^2+4x+85=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } +4x+85=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{421}i}{5}\approx -0,4+4,103656906i$$

$$x=\frac{-\sqrt{421}i-2}{5}\approx -0,4-4,103656906i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+4x+85=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) 85 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 85}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 85.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-1700}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és -1700.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-1684}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -1684.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{421}i}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{421}i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±2\sqrt{421}i}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -4 és 2i\sqrt{421}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{421}i}{10}$$

-4+2i\sqrt{421} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{421}i}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±2\sqrt{421}i}{10}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{421} kivonása a következőből: -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{421}i-4}{10}$$

-4-2i\sqrt{421} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{-\sqrt{421}i-2}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-2+\sqrt{421}i}{5} x=\frac{-\sqrt{421}i-2}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+4x+85=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 85.

$$5x^{2}+4x+85-85=-85$$

Ha kivonjuk a(z) 85 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+4x=-85$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{85}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{85}{5}$$

-85 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-17$$

Elosztjuk a(z) \frac{4}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{2}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{2}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-17+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{2}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-17+\frac{4}{25}$$

Összeadjuk a következőket: -17 és \frac{4}{25}.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{421}{25}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{421}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{421}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{421}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{421}i}{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{2}{5}.

$$x=\frac{-2+\sqrt{421}i}{5} x=\frac{-\sqrt{421}i-2}{5}$$