5x^2+32x+10=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } +32x+10=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}\approx -0.329459981$$

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}\approx -6.070540019$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+32x+10=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 32 értéket b-be és a(z) 10 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-20\times 10}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 10.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-200}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 1024 és -200.

$$x=\frac{-32±\sqrt{824}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 824.

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -32 és 2\sqrt{206}.

$$x=\frac{2\sqrt{206}-32}{10}$$

-32+2\sqrt{206} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}). ± előjele negatív. 2\sqrt{206} kivonása a következőből: -32.

$$x=\frac{-2\sqrt{206}-32}{10}$$

-32-2\sqrt{206} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+32x+10=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 10.

$$5x^{2}+32x+10-10=-10$$

Ha kivonjuk a(z) 10 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+32x=-10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+32x}{5}=-\frac{10}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-\frac{10}{5}$$

-10 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-2$$

Elosztjuk a(z) \frac{32}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{16}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{16}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{16}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=-2+\frac{256}{25}$$

Összeadjuk a következőket: -2 és \frac{256}{25}.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{206}{25}$$

A(z) x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{206}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{206}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{16}{5}=\frac{\sqrt{206}}{5} x+\frac{16}{5}=-\frac{\sqrt{206}}{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{16}{5}.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$