5x^2+2x-6=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } +2x-6=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{31}-1}{5}\approx 0,913552873$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}-1}{5}\approx -1,313552873$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+2x-6=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) -6 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 5\left(-6\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 5\left(-6\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-20\left(-6\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -6.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+120}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 120.

$$x=\frac{-2±\sqrt{124}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 124.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}-2}{10}$$

-2+2\sqrt{31} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{\sqrt{31}-1}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{10}). ± előjele negatív. 2\sqrt{31} kivonása a következőből: -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}-2}{10}$$

-2-2\sqrt{31} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{-\sqrt{31}-1}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{31}-1}{5} x=\frac{-\sqrt{31}-1}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+2x-6=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 6.

$$5x^{2}+2x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -6 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+2x=-\left(-6\right)$$

-6 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}+2x=6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+2x}{5}=\frac{6}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x=\frac{6}{5}$$

Elosztjuk a(z) \frac{2}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{6}{5}+\frac{1}{25}$$

\frac{6}{5} és \frac{1}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{31}{25}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{31}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{31}}{5} x+\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{31}}{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{5}.

$$x=\frac{\sqrt{31}-1}{5} x=\frac{-\sqrt{31}-1}{5}$$