5x^2+23x+12 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } +23x+12$$

Szorzattá alakítás

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$

A megoldás lépései

Csoportosítással tényezőkre bontjuk a kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5x^{2}+ax+bx+12 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=23 ab=5\times 12=60$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a+b pozitív, a és a b pozitívak. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 23.

$$a=3 b=20$$

Átírjuk az értéket (5x^{2}+23x+12) \left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right) alakban.

$$\left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 4 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(5x+3\right)+4\left(5x+3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5x+3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Egy másodfokú polinom az ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) átalakítással bontható tényezőkre, ahol x_{1} és x_{2} a másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása.

$$5x^{2}+23x+12=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-20\times 12}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-240}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 529 és -240.

$$x=\frac{-23±\sqrt{289}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 289.

$$x=\frac{-23±17}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-23±17}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-23±17}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -23 és 17.

$$x=-\frac{6}{10}$$

A törtet (\frac{-6}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-23±17}{10}). ± előjele negatív. 17 kivonása a következőből: -23.

$$x=-\frac{40}{10}$$

-40 elosztása a következővel: 10.

$$x=-4$$

Az eredeti kifejezést szorzattá alakítjuk a következő képlet alapján: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Behelyettesítjük a(z) -\frac{3}{5} értéket x_{1} helyére, a(z) -4 értéket pedig x_{2} helyére.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

A(z) p-\left(-q\right) alakú kifejezések egyszerűsítése p+q alakúvá.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x+\frac{3}{5}\right)\left(x+4\right)$$

\frac{3}{5} és x összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$5x^{2}+23x+12=5\times \frac{5x+3}{5}\left(x+4\right)$$

A legnagyobb közös osztó (5) kiejtése itt: 5 és 5.

$$5x^{2}+23x+12=\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Kiértékelés

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$