5x^2+10x-75=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } +10x-75 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-5$$

$$x=3$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-15 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -15.

$$-1,15 -3,5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 2.

$$a=-3 b=5$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+2x-15) \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right) alakban.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 5 faktort.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-3=0 és a x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) -75 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -75.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+1500}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és 1500.

$$x=\frac{-10±\sqrt{1600}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1600.

$$x=\frac{-10±40}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-10±40}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±40}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -10 és 40.

$$x=\frac{30}{10}$$

30 elosztása a következővel: 10.

$$x=3$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±40}{10}). ± előjele negatív. 40 kivonása a következőből: -10.

$$x=-\frac{50}{10}$$

-50 elosztása a következővel: 10.

$$x=-5$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3 x=-5$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 75.

$$5x^{2}+10x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -75 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+10x=-\left(-75\right)$$

-75 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}+10x=75$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{75}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{75}{5}$$

10 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+2x=\frac{75}{5}$$

75 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+2x=15$$

Elosztjuk a(z) 2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 1. Ezután hozzáadjuk 1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

Összeadjuk a következőket: 15 és 1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

Tényezőkre x^{2}+2x+1. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+1=4 x+1=-4$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x=3 x=-5$$