5x^2+10x-20=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } +10x-20=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)\approx -3,236067977$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+10x-20=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) -20 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -20.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+400}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és 400.

$$x=\frac{-10±\sqrt{500}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 500.

$$x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -10 és 10\sqrt{5}.

$$x=\frac{10\sqrt{5}-10}{10}$$

-10+10\sqrt{5} elosztása a következővel: 10.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10}). ± előjele negatív. 10\sqrt{5} kivonása a következőből: -10.

$$x=\frac{-10\sqrt{5}-10}{10}$$

-10-10\sqrt{5} elosztása a következővel: 10.

$$x=-\sqrt{5}-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+10x-20=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 20.

$$5x^{2}+10x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -20 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+10x=-\left(-20\right)$$

-20 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}+10x=20$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{20}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{20}{5}$$

10 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+2x=\frac{20}{5}$$

20 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+2x=4$$

Elosztjuk a(z) 2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 1. Ezután hozzáadjuk 1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

A(z) x^{2}+2x+1 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-1\approx -3,236067977$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+10x-20=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) -20 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -20.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+400}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és 400.

$$x=\frac{-10±\sqrt{500}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 500.

$$x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -10 és 10\sqrt{5}.

$$x=\frac{10\sqrt{5}-10}{10}$$

-10+10\sqrt{5} elosztása a következővel: 10.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10}). ± előjele negatív. 10\sqrt{5} kivonása a következőből: -10.

$$x=\frac{-10\sqrt{5}-10}{10}$$

-10-10\sqrt{5} elosztása a következővel: 10.

$$x=-\sqrt{5}-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+10x-20=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 20.

$$5x^{2}+10x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -20 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+10x=-\left(-20\right)$$

-20 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}+10x=20$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{20}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{20}{5}$$

10 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+2x=\frac{20}{5}$$

20 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+2x=4$$

Elosztjuk a(z) 2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 1. Ezután hozzáadjuk 1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

A(z) x^{2}+2x+1 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$