49x^2+30x+25=0 megoldása

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0,306122449+0,645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0,306122449-0,645362788i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 49 értéket a-ba, a(z) 30 értéket b-be és a(z) 25 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Összeszorozzuk a következőket: -196 és 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

Összeadjuk a következőket: 900 és -4900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -4000.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 49.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -30 és 20i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

-30+20i\sqrt{10} elosztása a következővel: 98.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}). ± előjele negatív. 20i\sqrt{10} kivonása a következőből: -30.

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

-30-20i\sqrt{10} elosztása a következővel: 98.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 25.

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

Ha kivonjuk a(z) 25 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$49x^{2}+30x=-25$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 49.

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

A(z) 49 értékkel való osztás eltünteti a(z) 49 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

Elosztjuk a(z) \frac{30}{49} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{15}{49}. Ezután hozzáadjuk \frac{15}{49} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

A(z) \frac{15}{49} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

-\frac{25}{49} és \frac{225}{2401} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{15}{49}.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$