49t^2-147t-196=0 megoldása

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

Megoldás a(z) t változóra

$$t=-1$$

$$t=4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 49.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk t^{2}+at+bt-4 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -4.

$$1,-4 2,-2$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-4=-3 2-2=0$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -3.

$$a=-4 b=1$$

Átírjuk az értéket (t^{2}-3t-4) \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right) alakban.

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Emelje ki a(z) t elemet a(z) t^{2}-4t kifejezésből.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) t-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a t-4=0 és a t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 49 értéket a-ba, a(z) -147 értéket b-be és a(z) -196 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -147.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Összeszorozzuk a következőket: -196 és -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

Összeadjuk a következőket: 21609 és 38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 60025.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

-147 ellentettje 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{147±245}{98}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 147 és 245.

$$t=\frac{392}{98}$$

392 elosztása a következővel: 98.

$$t=4$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{147±245}{98}). ± előjele negatív. 245 kivonása a következőből: 147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

-98 elosztása a következővel: 98.

$$t=-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$t=4 t=-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 196.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -196 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

-196 kivonása a következőből: 0.

$$49t^{2}-147t=196$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 49.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

A(z) 49 értékkel való osztás eltünteti a(z) 49 értékkel való szorzást.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

-147 elosztása a következővel: 49.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

196 elosztása a következővel: 49.

$$t^{2}-3t=4$$

Elosztjuk a(z) -3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Tényezőkre t^{2}-3t+\frac{9}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{2}.

$$t=4 t=-1$$