49x^2+2x-15=0 megoldása

$$49 { x }^{ 2 } +2x-15=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49}\approx 0,533251427$$

$$x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}\approx -0,574067754$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$49x^{2}+2x-15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 49 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) -15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 49\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 49\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 49.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-196\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Összeszorozzuk a következőket: -196 és -15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+2940}}{2\times 49}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 2940.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2944}}{2\times 49}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2944.

$$x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{2\times 49}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 49.

$$x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 8\sqrt{46}.

$$x=\frac{8\sqrt{46}-2}{98}$$

-2+8\sqrt{46} elosztása a következővel: 98.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98}). ± előjele negatív. 8\sqrt{46} kivonása a következőből: -2.

$$x=\frac{-8\sqrt{46}-2}{98}$$

-2-8\sqrt{46} elosztása a következővel: 98.

$$x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49} x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$49x^{2}+2x-15=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$49x^{2}+2x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$49x^{2}+2x=-\left(-15\right)$$

-15 kivonása a következőből: 0.

$$49x^{2}+2x=15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 49.

$$\frac{49x^{2}+2x}{49}=\frac{15}{49}$$

A(z) 49 értékkel való osztás eltünteti a(z) 49 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x=\frac{15}{49}$$

Elosztjuk a(z) \frac{2}{49} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{49}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{49} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\left(\frac{1}{49}\right)^{2}=\frac{15}{49}+\left(\frac{1}{49}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{49} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=\frac{15}{49}+\frac{1}{2401}$$

\frac{15}{49} és \frac{1}{2401} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=\frac{736}{2401}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{49}\right)^{2}=\frac{736}{2401}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{736}{2401}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{49}=\frac{4\sqrt{46}}{49} x+\frac{1}{49}=-\frac{4\sqrt{46}}{49}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{49}.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49} x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$