45x^2-39x-18=0 megoldása

$$45 x ^ { 2 } - 39 x - 18 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1,2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$15x^{2}-13x-6=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 15x^{2}+ax+bx-6 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-13 ab=15\left(-6\right)=-90$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -13.

$$a=-18 b=5$$

Átírjuk az értéket (15x^{2}-13x-6) \left(15x^{2}-18x\right)+\left(5x-6\right) alakban.

$$\left(15x^{2}-18x\right)+\left(5x-6\right)$$

Emelje ki a(z) 3x elemet a(z) 15x^{2}-18x kifejezésből.

$$3x\left(5x-6\right)+5x-6$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5x-6 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5x-6\right)\left(3x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 5x-6=0 és a 3x+1=0.

$$x=\frac{6}{5} x=-\frac{1}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$45x^{2}-39x-18=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 45 értéket a-ba, a(z) -39 értéket b-be és a(z) -18 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{\left(-39\right)^{2}-4\times 45\left(-18\right)}}{2\times 45}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -39.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521-4\times 45\left(-18\right)}}{2\times 45}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 45.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521-180\left(-18\right)}}{2\times 45}$$

Összeszorozzuk a következőket: -180 és -18.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521+3240}}{2\times 45}$$

Összeadjuk a következőket: 1521 és 3240.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{4761}}{2\times 45}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 4761.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±69}{2\times 45}$$

-39 ellentettje 39.

$$x=\frac{39±69}{2\times 45}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 45.

$$x=\frac{39±69}{90}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{39±69}{90}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 39 és 69.

$$x=\frac{108}{90}$$

A törtet (\frac{108}{90}) leegyszerűsítjük 18 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{6}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{39±69}{90}). ± előjele negatív. 69 kivonása a következőből: 39.

$$x=-\frac{30}{90}$$

A törtet (\frac{-30}{90}) leegyszerűsítjük 30 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{6}{5} x=-\frac{1}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$45x^{2}-39x-18=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 18.

$$45x^{2}-39x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -18 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$45x^{2}-39x=-\left(-18\right)$$

-18 kivonása a következőből: 0.

$$45x^{2}-39x=18$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 45.

$$\frac{45x^{2}-39x}{45}=\frac{18}{45}$$

A(z) 45 értékkel való osztás eltünteti a(z) 45 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{39}{45}\right)x=\frac{18}{45}$$

A törtet (\frac{-39}{45}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{13}{15}x=\frac{18}{45}$$

A törtet (\frac{18}{45}) leegyszerűsítjük 9 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{13}{15}x=\frac{2}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{13}{15} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{13}{30}. Ezután hozzáadjuk -\frac{13}{30} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{13}{15}x+\left(-\frac{13}{30}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{13}{30}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{13}{30} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{13}{15}x+\frac{169}{900}=\frac{2}{5}+\frac{169}{900}$$

\frac{2}{5} és \frac{169}{900} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{13}{15}x+\frac{169}{900}=\frac{529}{900}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{13}{15}x+\frac{169}{900}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{13}{30}\right)^{2}=\frac{529}{900}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{900}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{13}{30}=\frac{23}{30} x-\frac{13}{30}=-\frac{23}{30}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{13}{30}.

$$x=\frac{6}{5} x=-\frac{1}{3}$$