42x^2-5x-3=0 megoldása

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 42x^{2}+ax+bx-3 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -5.

$$a=-14 b=9$$

Átírjuk az értéket (42x^{2}-5x-3) \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right) alakban.

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

A 14x a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3x-1=0 és a 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 42 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Összeszorozzuk a következőket: -168 és -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±23}{84}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

A törtet (\frac{28}{84}) leegyszerűsítjük 28 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±23}{84}). ± előjele negatív. 23 kivonása a következőből: 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

A törtet (\frac{-18}{84}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

-3 kivonása a következőből: 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

A(z) 42 értékkel való osztás eltünteti a(z) 42 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

A törtet (\frac{3}{42}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{5}{42} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{84}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{84} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{84} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

\frac{1}{14} és \frac{25}{7056} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{84}.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$