40w^2-83w+42=0 megoldása

$$40 w ^ { 2 } - 83 w + 42 = 0$$

Megoldás a(z) w változóra

$$w = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1,2$$

$$w=\frac{7}{8}=0,875$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$40w^{2}-83w+42=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 40 értéket a-ba, a(z) -83 értéket b-be és a(z) 42 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-\left(-83\right)±\sqrt{\left(-83\right)^{2}-4\times 40\times 42}}{2\times 40}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -83.

$$w=\frac{-\left(-83\right)±\sqrt{6889-4\times 40\times 42}}{2\times 40}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 40.

$$w=\frac{-\left(-83\right)±\sqrt{6889-160\times 42}}{2\times 40}$$

Összeszorozzuk a következőket: -160 és 42.

$$w=\frac{-\left(-83\right)±\sqrt{6889-6720}}{2\times 40}$$

Összeadjuk a következőket: 6889 és -6720.

$$w=\frac{-\left(-83\right)±\sqrt{169}}{2\times 40}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 169.

$$w=\frac{-\left(-83\right)±13}{2\times 40}$$

-83 ellentettje 83.

$$w=\frac{83±13}{2\times 40}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 40.

$$w=\frac{83±13}{80}$$

Megoldjuk az egyenletet (w=\frac{83±13}{80}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 83 és 13.

$$w=\frac{96}{80}$$

A törtet (\frac{96}{80}) leegyszerűsítjük 16 kivonásával és kiejtésével.

$$w=\frac{6}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (w=\frac{83±13}{80}). ± előjele negatív. 13 kivonása a következőből: 83.

$$w=\frac{70}{80}$$

A törtet (\frac{70}{80}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$w=\frac{7}{8}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$w=\frac{6}{5} w=\frac{7}{8}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$40w^{2}-83w+42=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 42.

$$40w^{2}-83w+42-42=-42$$

Ha kivonjuk a(z) 42 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$40w^{2}-83w=-42$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 40.

$$\frac{40w^{2}-83w}{40}=-\frac{42}{40}$$

A(z) 40 értékkel való osztás eltünteti a(z) 40 értékkel való szorzást.

$$w^{2}-\frac{83}{40}w=-\frac{42}{40}$$

A törtet (\frac{-42}{40}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$w^{2}-\frac{83}{40}w=-\frac{21}{20}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{83}{40} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{83}{80}. Ezután hozzáadjuk -\frac{83}{80} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$w^{2}-\frac{83}{40}w+\left(-\frac{83}{80}\right)^{2}=-\frac{21}{20}+\left(-\frac{83}{80}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{83}{80} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$w^{2}-\frac{83}{40}w+\frac{6889}{6400}=-\frac{21}{20}+\frac{6889}{6400}$$

-\frac{21}{20} és \frac{6889}{6400} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$w^{2}-\frac{83}{40}w+\frac{6889}{6400}=\frac{169}{6400}$$

Tényezőkre w^{2}-\frac{83}{40}w+\frac{6889}{6400}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(w-\frac{83}{80}\right)^{2}=\frac{169}{6400}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(w-\frac{83}{80}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{6400}}$$

Egyszerűsítünk.

$$w-\frac{83}{80}=\frac{13}{80} w-\frac{83}{80}=-\frac{13}{80}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{83}{80}.

$$w=\frac{6}{5} w=\frac{7}{8}$$