40x^2-14x+1=0 megoldása

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 40x^{2}+ax+bx+1 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -14.

$$a=-10 b=-4$$

Átírjuk az értéket (40x^{2}-14x+1) \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right) alakban.

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

A 10x a második csoportban lévő első és -1 faktort.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 4x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 4x-1=0 és a 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 40 értéket a-ba, a(z) -14 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

-14 ellentettje 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±6}{80}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 14 és 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

A törtet (\frac{20}{80}) leegyszerűsítjük 20 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±6}{80}). ± előjele negatív. 6 kivonása a következőből: 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

A törtet (\frac{8}{80}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{10}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

A(z) 40 értékkel való osztás eltünteti a(z) 40 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

A törtet (\frac{-14}{40}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{20} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{40}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{40} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{40} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

-\frac{1}{40} és \frac{49}{1600} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{40}.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$