4z^2+60z=800 megoldása

$$4 z ^ { 2 } + 60 z = 800$$

Megoldás a(z) z változóra

$$z = \frac{5 \sqrt{41} - 15}{2} \approx 8,507810594$$

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}\approx -23,507810594$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4z^{2}+60z=800$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 800.

$$4z^{2}+60z-800=800-800$$

Ha kivonjuk a(z) 800 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4z^{2}+60z-800=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 60 értéket b-be és a(z) -800 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 60.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600+12800}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 3600 és 12800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{16400}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 16400.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -60 és 20\sqrt{41}.

$$z=\frac{20\sqrt{41}-60}{8}$$

-60+20\sqrt{41} elosztása a következővel: 8.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}). ± előjele negatív. 20\sqrt{41} kivonása a következőből: -60.

$$z=\frac{-20\sqrt{41}-60}{8}$$

-60-20\sqrt{41} elosztása a következővel: 8.

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4z^{2}+60z=800$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{800}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{800}{4}$$

60 elosztása a következővel: 4.

$$z^{2}+15z=\frac{800}{4}$$

800 elosztása a következővel: 4.

$$z^{2}+15z=200$$

Elosztjuk a(z) 15 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{15}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{15}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=200+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{15}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=200+\frac{225}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 200 és \frac{225}{4}.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{1025}{4}$$

Tényezőkre z^{2}+15z+\frac{225}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{1025}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1025}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{41}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{41}}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{15}{2}.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$