4y^2-9y+2=0 megoldása

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y=\frac{1}{4}=0,25$$

$$y=2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4y^{2}+ay+by+2 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -9.

$$a=-8 b=-1$$

Átírjuk az értéket (4y^{2}-9y+2) \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right) alakban.

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

A 4y a második csoportban lévő első és -1 faktort.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) y-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a y-2=0 és a 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -9 értéket b-be és a(z) 2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -9.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 81 és -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

-9 ellentettje 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{9±7}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 9 és 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

16 elosztása a következővel: 8.

$$y=2$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{9±7}{8}). ± előjele negatív. 7 kivonása a következőből: 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

A törtet (\frac{2}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$y=\frac{1}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

Ha kivonjuk a(z) 2 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

A törtet (\frac{-2}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{9}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{9}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{9}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{9}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

-\frac{1}{2} és \frac{81}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Tényezőkre y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{9}{8}.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$