4x-y=5text{and}5y-4x=7 megoldása

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=2$$

$$y=3$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$4x-y=5$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: y.

$$4x=y+5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{4} és y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{5+y}{4} értéket x helyére a másik, -4x+5y=7 egyenletben.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Összeadjuk a következőket: -y és 5y.

$$4y-5=7$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$4y=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$y=3$$

A(z) x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 3. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{4} és 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

\frac{5}{4} és \frac{3}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=2$$

A rendszer megoldva.

$$x=2,y=3$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=2,y=3$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

4x és -4x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: -4, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Egyszerűsítünk.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

-16x+20y=28 kivonása a következőből: -16x+4y=-20: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Összeadjuk a következőket: -16x és 16x. -16x és 16x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$4y-20y=-20-28$$

Összeadjuk a következőket: 4y és -20y.

$$-16y=-20-28$$

Összeadjuk a következőket: -20 és -28.

$$-16y=-48$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -16.

$$y=3$$

A(z) -4x+5y=7 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 3. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$-4x+5\times 3=7$$

Összeszorozzuk a következőket: 5 és 3.

$$-4x+15=7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 15.

$$-4x=-8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -4.

$$x=2$$

A rendszer megoldva.

$$x=2,y=3$$