4x-5y=53text{and}2x+3y=-1 megoldása

$$4 x - 5 y = 53 \text { and } 2 x + 3 y = - 1$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=7$$

$$y=-5$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$4x-5y=53,2x+3y=-1$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$4x-5y=53$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5y.

$$4x=5y+53$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+53\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{4} és 5y+53.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{53}{4}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{5y+53}{4} értéket x helyére a másik, 2x+3y=-1 egyenletben.

$$2\left(\frac{5}{4}y+\frac{53}{4}\right)+3y=-1$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{5y+53}{4}.

$$\frac{5}{2}y+\frac{53}{2}+3y=-1$$

Összeadjuk a következőket: \frac{5y}{2} és 3y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{53}{2}=-1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{53}{2}.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{55}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{11}{2}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=-5$$

A(z) x=\frac{5}{4}y+\frac{53}{4} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -5. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{5}{4}\left(-5\right)+\frac{53}{4}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{5}{4} és -5.

$$x=\frac{-25+53}{4}$$

\frac{53}{4} és -\frac{25}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=7$$

A rendszer megoldva.

$$x=7,y=-5$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$4x-5y=53,2x+3y=-1$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\-1\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\-1\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\-1\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\-1\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}53\\-1\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}53\\-1\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 53+\frac{5}{22}\left(-1\right)\\-\frac{1}{11}\times 53+\frac{2}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=7,y=-5$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$4x-5y=53,2x+3y=-1$$

4x és 2x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 2, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 4.

$$2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 53,4\times 2x+4\times 3y=4\left(-1\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$8x-10y=106,8x+12y=-4$$

8x+12y=-4 kivonása a következőből: 8x-10y=106: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$8x-8x-10y-12y=106+4$$

Összeadjuk a következőket: 8x és -8x. 8x és -8x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-10y-12y=106+4$$

Összeadjuk a következőket: -10y és -12y.

$$-22y=106+4$$

Összeadjuk a következőket: 106 és 4.

$$-22y=110$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -22.

$$y=-5$$

A(z) 2x+3y=-1 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -5. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$2x+3\left(-5\right)=-1$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és -5.

$$2x-15=-1$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$2x=14$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=7$$

A rendszer megoldva.

$$x=7,y=-5$$