4x-5y=-14text{and}7x+y=-5 megoldása

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=-1$$

$$y=2$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$4x-5y=-14$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5y.

$$4x=5y-14$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{4} és 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} értéket x helyére a másik, 7x+y=-5 egyenletben.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Összeszorozzuk a következőket: 7 és \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Összeadjuk a következőket: \frac{35y}{4} és y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{49}{2}.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{39}{4}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=2$$

A(z) x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{5}{4} és 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

-\frac{7}{2} és \frac{5}{2} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=-1$$

A rendszer megoldva.

$$x=-1,y=2$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=-1,y=2$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

4x és 7x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 7, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

28x+4y=-20 kivonása a következőből: 28x-35y=-98: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Összeadjuk a következőket: 28x és -28x. 28x és -28x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-35y-4y=-98+20$$

Összeadjuk a következőket: -35y és -4y.

$$-39y=-98+20$$

Összeadjuk a következőket: -98 és 20.

$$-39y=-78$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -39.

$$y=2$$

A(z) 7x+y=-5 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$7x+2=-5$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$7x=-7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 7.

$$x=-1$$

A rendszer megoldva.

$$x=-1,y=2$$