4x-3y=2text{and}x+5y=-11 megoldása

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$4x-3y=2$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3y.

$$4x=3y+2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{4} és 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} értéket x helyére a másik, x+5y=-11 egyenletben.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Összeadjuk a következőket: \frac{3y}{4} és 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{23}{4}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=-2$$

A(z) x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{3}{4} és -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

\frac{1}{2} és -\frac{3}{2} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=-1$$

A rendszer megoldva.

$$x=-1,y=-2$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=-1,y=-2$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

4x és x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

4x+20y=-44 kivonása a következőből: 4x-3y=2: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Összeadjuk a következőket: 4x és -4x. 4x és -4x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-3y-20y=2+44$$

Összeadjuk a következőket: -3y és -20y.

$$-23y=2+44$$

Összeadjuk a következőket: 2 és 44.

$$-23y=46$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -23.

$$y=-2$$

A(z) x+5y=-11 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Összeszorozzuk a következőket: 5 és -2.

$$x-10=-11$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 10.

$$x=-1$$

A rendszer megoldva.

$$x=-1,y=-2$$